1、
已知函数在处有极值.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设,讨论函数在区间上的单调性.
【考点】
【答案】
(1) 在处有极值时,,(2)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出导函数,由∴且,求得或,检验后可得结果;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,利用导数研究函数的单调性和极值,分五种情况讨论,分别比较极值与端点处的函数值即可得结果.
试题解析:(Ⅰ)定义域为,
∵在处有极值,
∴且,
即
解得:或
当时,,
当时,
∴在处有极值时,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,其单调性和极值分布情况如表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
增 | 极大 | 减 | 极小 | 增 |
∴①当,即时,在区间上的单调递增;
②当,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减;③当且,即时,在区间上单调递减;
④当,即时,在区间上的单调递减,在区间上单调递增;
⑤时,在区间上单调递增.
综上所述,当时函数在区间上的单调性为:
或时,单调递增;
时,在上的单调递增,在上单调递减;
时,单调递减;
时,在上单调递减,在上单调递增.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间;④根据单调性求函数的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).
题型:解答题
题类:
难度:较难
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