1、
已知函数, .
(Ⅰ)若直线 与曲线和分别交于两点.设曲线
在点处的切线为,在点处的切线为.
(ⅰ)当时,若 ,求的值;
(ⅱ)若,求的最大值;
(Ⅱ)设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点,,且.
若,且恒成立,求的取值范围.
【考点】
【答案】
(1)(ⅰ) (ⅱ) (2)
【解析】
试题分析:(1)由和导数可得,,可求得。
由,则在上有解. 即在上有解.
设,,则.分,a=0,a>0讨论。(2)
. 在其定义域内的两个不同的极值点,. 即,. 两式作差得,. 由. 令,则,由题意知: l在上恒成立, 可求范围。
试题解析: (Ⅰ) 函数的定义域为.
,.
(ⅰ)当时,,.
因为,所以. 即.
解得.
(ⅱ)因为,则在上有解. 即在上有解.
设,,则.
当时,恒成立,则函数在上为增函数.
当时,取,
取,, 所以在上存在零点.
当时,存在零点,,满足题意.
(2)当时,令,则.则在上为增函数,上为减函数.
所以的最大值为.解得.
取,.
因此当时,方程在上有解.
所以,的最大值是.
另解:函数的定义域为. ,.
则,.
因为,则在上有解.即在上有解.
因为,所以.
令 ()..得.
当,,为增函数;
当,,为减函数;
所以.
所以,的最大值是.
(Ⅱ) .
因为为在其定义域内的两个不同的极值点,
所以是方程的两个根. 即,.
两式作差得,.
因为 ,由,得. 则 . 令,则,由题意知:
在上恒成立,
令,
则=.当,即时,,,
所以在上单调递增.
又,则在上恒成立.
当,即时,时,,在上为增函数; 当时,,在上为减函数.
又,所以不恒小于,不合题意.
综上,.
题型:解答题
题类:
难度:困难
组卷次数:0
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