1、
已知函数的图像经过点,曲线在点处的切线恰好与直线垂直.
(1)求实数的值;
(2)求在函数图像上任意一点处切线的斜率的取值范围.
【考点】
【答案】
(1)(2)见解析
【解析】
试题分析:第一问根据导数的几何意义,对函数求导,求出切线的斜率,根据两条直线垂直,斜率互为负倒数,列出方程,再结合函数图象过点M,列出方程组,解方程组求出a,b,第二问把a,b的值代入函数解析式,求出导数,根据导数的几何意义,表示出切线的斜率,利用配方法求出二次函数的值域,即切线斜率的范围.
试题解析:
(1)因为y′=f′(x)=3ax2+2bx.
∵f(x)=ax3+bx2的图象过点M(1,4),
∴a+b=4.
又∵曲线在点M处的切线与直线x+9y=0垂直,
∴f′(1)=9,∴3a+2b=9.
由 得, .
(2)由(1)知y′=f′(x)=3ax2+2bx=3x2+6x
=3(x+1)2-3≥-3.
题型:解答题
题类:
难度:一般
组卷次数:0
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