（1）解：函数f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的导数为：

f′（x）= ﹣ax+b，

可得图象在x=1处的切线l的斜率为k=1﹣a+b，

切点为（1，1+b﹣ a），

由切线经过点（ ， ），

可得1﹣a+b= ，

化简可得，b=0，

则f（x）=lnx﹣ ax2+1，g（x）=lnx﹣ ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），

g′（x）= ﹣ax﹣（a﹣1）=﹣ ，

当0＜x＜ 时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞ 时，g′（x）＜0，g（x）递减．

可得g（x）max=g（ ）=﹣lna﹣ +1﹣1+ = ﹣lna；

（2）证明：a=﹣4时，f（x）=lnx+2x2+1，

f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，

可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=2，

化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

即有2（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

令t=x1x2，t＞0，设h（t）=t﹣lnt，

h′（t）=1﹣ ，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．

即有h（t）在t=1取得最小值1，

则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，

可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，

则2x1+2x2﹣1≥0，

可得x1+x2≥ ．