1、
已知a>0,且a≠1,函数f(x)=ax﹣1,g(x)=﹣x2+xlna.
(1)若a>1,证明函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数;
(2)求函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值;
(3)若函数F(x)的图象过原点,且F′(x)=g(x),当a>e 时,函数F(x)过点A(1,m)的切线至少有2条,求实数m的值.
(1)解: h(x)=f(x)﹣g(x)=ax﹣1+x2﹣xlna,
则h′(x)=(ax﹣1)lna+2x,
∵a>1,∴当x>0时,ax﹣1>0,lna>0,
∴h′(x)>0,即此时函数h(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(2)由(1)知,当a>1时,函数h(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
则在区间(﹣∞,0)上是单调减函数,
同理当0<a<1时,h(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
则在区间(﹣∞,0)上是单调减函数,
即当a>0,且a≠1时,h(x)在区间[﹣1,0)上是减函数,在区间([0,1)上是增函数,
当﹣1≤x≤1时,h(x)的最大值为h(﹣1)和h(1)中的最大值,
∵h(1)﹣h(﹣1)=(a﹣lna)﹣( +lna)=a﹣ ﹣2lna,
∴令G(a)=a﹣ ﹣2lna,a>0,
则G′(a)=1+ ﹣ =(1﹣ )2≥0,
∴G(a)=a﹣ ﹣2lna,在a>0上为增函数,
∵G(1)=1﹣1﹣2ln1=0,
∴a>1时,G(a)>0,即h(1)>h(﹣1),最大值为h(1)=a﹣lna,
当0<a<1时,G(a)<0,即h(﹣1)>h(1),最大值为h(﹣1)= +lna.
(3)∵F(x)的图象过原点,且F′(x)=g(x)=﹣x2+xlna,
∴设F(x)=﹣ x3+ x2lna+c,
∵F(x)的图象过原点,∴F(0)=0,
即c=0,则F(x)=﹣ x3+ x2lna.
设切点为B(x0,﹣ x03+ x02lna),则B处的切线方程为:
y﹣(﹣ x03+ x02lna)=﹣(﹣x02+x0lna)(x﹣x0),
将A的坐标代入得m﹣(﹣ x03+ x02lna)=﹣(﹣x02+x0lna)(1﹣x0),
即m= x03﹣(1+ lna)x02+x0lna (※),
则原命题等价为关于x0的方程(※)至少有2个不同的解,
设φ(x)= x3﹣(1+ lna)x2+xlna,
则φ′(x)=2x02﹣(2+lna)x+lna=(x﹣1)(2x﹣lna),
∵a>e ,∴ >1,
当x∈(﹣∞,1)和( ,+∞)时,φ′(x)>0,此时函数φ(x)为增函数,
当x∈(1, )时,φ′(x)<0,此时函数φ(x)为减函数,
∴φ(x)的极大值为φ(1)= ﹣1﹣ lna+lna= lna﹣ ,
φ(x)的极大值为φ( lna)= ln3a﹣ ln2a(1+ lna)+ ln2a=﹣ ln3a+ ln2a,
设t=lna,则t> ,
则原命题等价为 对t> 恒成立,
∴由m≤ t﹣ 得m≤ ,
∵s(t)=﹣ t3+ t2的最大值为s(4)= ,
∴由m≥﹣ t3+ t2,得m≥ ,即m= ,
综上所述当a>e 时,函数F(x)过点A(1,m)的切线至少有2条,此时实数m的值为 .
(1)由已知求出函数的导函数,根据函数单调性和导数的关系即可证明。(2)根据函数的单调性和最值如导数的关系即可求解。(3)求出导函数的解析式结合导数的几何意义求解即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
- 函数的极值为__________.
- 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,...
- 已知函数f(x)=log2(3+x)﹣log2(3...
- 设f(x)=|ax+b|+|cx+d|(x∈R),...
- 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是(m为参...
- 若a>0,b>0,且.(I)求a3+b3的最小值;...
- 如图,在底面为矩形的四棱椎P﹣ABCD中,PB⊥A...
- 函数f(x)=+ln|x|的图象大致为()A.B....
- 已知函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数...
- 命题“∃x∈(0,+∞),lnx=x﹣1”的否定是...
- 已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex,当b<1...
- 自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,...
- 已知a>0,且a≠1,函数f(x)=ax﹣1,g(...
- 已知:已知函数f(x)=﹣+2ax,(Ⅰ)若曲线y...
- △ABC是等边三角形,边长为4,BC边的中点为D,...
- 如图,OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°...
- 在数列{an}及{bn}中,an+1=an+bn+...
- 计算:=()A.2B.﹣2C.2iD.﹣2i
- 设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R...
- 在如图所示的多面体ABCDEF中,四边形ABCD为...
- 设O,A,B,M为平面上四点,=+(1﹣λ),λ∈...
- 已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别...
- 已知向量与的夹角为,||=,则在方向上的投影为()...
- 已知点D是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,F1,...
- 设f(x)=,则f(f(2))的值为()A.0B....
- 设复数z满足:z(2﹣i)=4+3i(其中i为虚数...
- 设函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)为偶...
- 已知I为△ABC的内心,cosA=,若=x+y,则...
- 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为...
- 如图,三棱锥P﹣ABC中,△ABC是正三角形,△A...
- 广西贵港市高三上学期月联考数学(理)试卷
- 北京市东城二十二中高三上学期期中试卷数学...
- 福建省厦门外国语学校高三下学期第一次(开...
- 浙江省嘉兴市第一中学高三上学期数学期中考...
- 广东省中山市高三上学期期末考试数学(文)...
- 福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教...
- 湖南师大附中高三上学期月考(三)数学(文...
- 山东省菏泽市高三上学期期末考试数学(理)...
- 山东师大附中高三上学期理数第一次模拟考试...
- 山西省太原市第五中学高三上学期月月考数学...
- 江苏省高三上学期期末数学试卷分类选考之选...
- 江苏省苏州市高三上学期期中调研数学试卷
- 天津市部分区高三上学期期末考试数学(理)...
- 广西桂梧高中高三上学期第五次联考数学(文...
- 内蒙古集宁一中高三上学期第二次月考数学(...
- 贵州省遵义市高三上学期第二次联考数学(理...
- 广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上学期...
- 内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研考试...
- 上海市浦东区高三年级第一学期质量调研数学
- 天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(...
- 北京市第四中学高三年级上学期期中考试数学...
- 北京丰台第十中学高三上学期期中考试数学试...
- 天津市耀华中学高三上学期第三次月考数学(...
- 山西省实验中学高三上学期文数学业质量监测...
- 辽宁省沈阳市高中三年级教学质量监测(三)...
- 北京东城北京一中高三上学期期中考试数学(...
- 河北省衡水市武邑中学高三下学期开学考试数...
- 江苏省泰州市兴化一中高三上学期理数期初考...
- 湖南师范大学附属中学高三上学期月考(五)...
- 河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学...
- 已知函数.(1)若是函数的一个极值点,和1是的两个...
- 设函数,.(1)求函数的极值;(2)若,使得成立,...
- 已知函数,(,为自然对数的底数).(1)试讨论函数...
- 等差数列中的分别是函数的两个不同极值点,则为( )...
- 已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t...
- 设函数在处取得极值为0,则__________.
- 已知函数,(1)求的单调区间;(2)求在上的最大值...
- 函数f(x)=x3-3x2+1在x0处取得极小值,...
- 已知函数,.(Ⅰ)若直线与曲线和分别交于两点.设曲...
- 已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣处...
- 设,若函数有小于零的极值点,则实数的取值范围是()...
- 已知是函数的一个极值点,则实数__________...
- 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是()A. B...
- 若函数f(x)=x2+alnx在区间(1,+∞)上...
- 已知函数f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-b...
- 若函数在区间上不是单调函数,则函数在R上的极大值为...
- 若函数在处取得极值,则_____.
- 设.(1)讨论函数的极值;(2)当时,,求的取值范...
- 设与是函数的两个极值点.(1)试确定常数和的值;(...
- 已知函数,.(1)若在处取得极小值,求实数的值;(...
- 函数的定义域为,导函数在内的图像如下图所示,则函数...
- 设函数.(1)当时,求曲线处的切线方程;(2)当时...
- 已知函数上任一点处的切线斜率,则函数的极值点的个数...
- 若函数有极值,则实数的取值范围是_________...
- 已知在处的极值为0.(1)求常数的值;(2)求的单...
- 设函数,则( )A.为的极大值点 B.为的极小值点...
- 已知e为自然对数的底数,设函数,则( ).A.当k...
- 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-...
- 已知函数的图象与直线相切于点.(1)求的值;(2)...
- 如图,用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的...
- 湖南省高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷(...
- 河南省洛阳市高二下学期期末考试数学(文)试卷
- 安徽省巢湖市柘皋中学高三最后一次模拟考试数学(文)...
- 四川省成都市龙泉一中、新都一中等九校高二月联考数学...
- 江苏省南京市金陵中学高二下学期周末作业数学试卷
- 河北省保定市高三二模文科数学试卷
- 安徽省池州市江南中学高二下学期期末考试数学(理)试...
- 湖北省宜昌市七校教学协作体高二下学期期末考试数学(...
- 北京市朝阳区高三二模数学(文科)试卷
- 河北省鸡泽县第一中学高二下学期期末考试数学(文)试...
- 湖北省孝感市七校教学联盟高二下学期期末考试数学(文...
- 广东省中山市高二下学期期末统一考试数学(文)试卷
- 福建省泉港一中高二下学期期末考理科数学试卷
- 福建省福州市八县(市)一中(福清一中长乐一中等)高...
- 河南省中原名校高二下期期末检测数学(理)试卷
- 福建省高三毕业班总复习(导数)单元过关平行性测试卷...
- 辽宁省瓦房店市高级中学高二下学期期末考试数学(理)...
- 湖南省邵东三中高二下学期期中考试理数试卷
- 山东省临沂市重点中学高二下学期期中考试数学(理)试...
- 陕西省宝鸡市金台区高二下学期期中考试数学理试卷
- 天津市六校高二下学期期中联考数学理试卷
- 河南省商丘名校高二下期月联考数学(理)试卷
- 宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期中考试数学(文)试...
- 安徽省黄山市屯溪第一中学高二下学期期中考试数学(理...
- 河北省承德一中高二下学期第一次月考数学理试卷
- 福建省师范大学附属中学高二下学期期中考试数学理试卷
- 江苏省兴化一中高三下学期期中考试数学试卷
- 福建省泉港一中高二年下学期期中考文科数学试卷
- 河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学试卷
- 福建省高三毕业班总复习(导数)单元过关形成性测试卷...