1、
如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点.PM⊥平面ABCD交AD与M,MN⊥BD于N.
(1)求异面直线PN与A1C1所成角的大小;(结果可用反三角函数值表示)
(2)求三棱锥P﹣BMN的体积.
【考点】
【答案】
(1)解:∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点,且PM⊥平面ABCD,
∴PM为△ADD1的中位线,得PM=1,
又∵MN⊥BD,
∴ ,
∵在底面ABCD中,MN⊥BD,AC⊥BD,
∴MN∥AC,
又∵A1C1∥AC,∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角,
在△PMN中,∠PMN为直角, ,
∴ .
即异面直线PN与A1C1所成角的大小为
(2)解: , ,
代入数据得三棱锥P﹣BMN的体积为
【解析】
(1)由已知易得M点为AD中点,MN//A1C1,∠PNM即为所求异面直线所求角或其补角,再在三角形PNM中求解.
(2) VP − BMN =⋅⋅ PM ⋅ MN ⋅ BN,代入数据即得三棱锥P﹣BMN的体积.
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识,掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.
题型:解答题
题类:
难度:一般
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