1、
△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则: ①若cosBcosC>sinBsinC,则△ABC一定是钝角三角形;
②若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形;
③ , ,若 ,则△ABC为锐角三角形;
④若O为△ABC的外心, ;
⑤若sin2A+sin2B=sin2C, ,
以上叙述正确的序号是______ .
①③④⑤
解:①若cosBcosC>sinBsinC,则cosBcosC﹣sinBsinC=cos(B+C)>0,
即﹣cosA>0,cosA<0,则∠A为钝角,故△ABC一定是钝角三角形,正确.②若acosA=bcosB,则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB,即sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=180,即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,错误;③ , ,
则 =tanA+tanB+tanC=(1﹣tanAtanB)tan(A+B)+tanC>0
tan(A+B)+tanC>tanAtanBtan(A+B)⇒0>tanAtanBtan(A+B)
∴必有A+B> ,且A,B都为锐角
∴C也必为锐角,
∴△ABC为锐角三角形,正确,④O为△ABC的外心, • = •( ﹣ )= • ﹣ • ,
=| |•| |cos< , >﹣| |•| |•cos< , >= | |2﹣ | |2= (b2﹣c2),正确,⑤若sin2A+sin2B=sin2C,则由正弦定理得a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形,
∴( ﹣ )•( ﹣ )=0,
∴ ﹣ •( + )+ =0,∴ =﹣2 ,
∵﹣ = + ,∴ 2= 2+ 2+2 ,∴5 2= 2+ 2,即结论成立.
所以答案是①③④⑤.
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