试题分析：首先把a=2代入函数式，分类讨论去掉绝对值符号，化成分段函数，根据函数图象看出函数的单调性，在闭区间[0,3]上，求出函数的最大值；第二步先去掉绝对值符号,根据条件a>2，利用二次函数研究单调性；第三步注意a在[-2,4]取值，所以分从-2到2区间以及从2到4区间两种情况分别考虑，借助转化思想求出t的范围.

试题解析：

（1）当时，,

  =,

在R上为增函数，

在上为增函数，

则 .

（2）,

,

,

当时，， 在为增函数 ,

当时，，即,

在为增函数，在为减函数 ,

则的单调增区间为和，单调减区间 .

（3）由（2）可知，当时，为增函数，

方程不可能有三个不相等实数根,

当时，由（2）得 ,

,

即在有解,

  由在上为增函数,

  当时，的最大值为  ,

则 .