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福建省泉港区三川中学中考数学专题复习测试卷：开放性问题
初中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
5 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、解答题（共1题，共5分）
1、 如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点． (1)求m的值； (2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且 (3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
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福建省泉港区三川中学中考数学专题复习测试卷：开放性问题
1、
如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且
＋
＝
，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
(1)4；（2）8；（3）不存在.
试题分析：（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的值；
（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD，
＋
＝2，同理
＋
＝2，AC，BE是x2-（k+3）x+4=0两根，即可；
（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．
试题解析：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴方程组
有且只有一组解．
消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．
∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．
∴m＝4．
(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴
＝
．
同理，
＝
．
∵
＋
＝
，∴
＋
＝2．
∴
＋
＝2．
∴
＋
＝
，即
＝
．
解方程组
得x＝
，即PD＝
．
由方程组
消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．
∴
＝
．
解得b＝8．
(3)不存在．理由如下：
假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，
于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．
由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝
，
∴k＋3＝2×
，即(k＋3)2＝16．
解得k＝1(舍去k＝－7)．
当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．
∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ．