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广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学试卷（理科）
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
60 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共7题，共35分）
1、 已知椭圆方程为 A. B. C. D. 2、 平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 3、 已知动点P在曲线2y2﹣x=0上移动，则点A（﹣2，0）与点P连线中点的轨迹方程是（ ） A.y=2x2 B.y=8x2 C.x=4y2﹣1 D.y=4x2﹣ 4、 在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则 A. B. C.1 D.2 5、 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn ， 则 A. B. C. D. 6、 在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a= A.30° B.30°或105° C.60° D.60°或120° 7、 以双曲线 A.y2=16x B.y2=﹣16x C.y2=8x D.y2=﹣8x
二、填空题（共3题，共15分）
8、 已知双曲线E： 9、 双曲线 10、 设实数x，y满足
三、解答题（共2题，共10分）
11、 已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点． （1）求证：OA⊥OB． （2）求|AB|． 12、 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos （Ⅱ）若 |
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广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学试卷（理科）
1、
已知椭圆方程为 
=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（ ）
A.
=1
B.
=1
C.
+ 
=1
D.
=1
C
解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），代入椭圆的方程可得 
， 
． 两式相减可得： 
+ 
=0．
由x1+x2=2，y1+y2=﹣2， 
= 
= 
，代入上式可得：
=0，化为a2=3b2 ．
又c=4，c2=a2﹣b2 ， 联立解得a2=24，b2=8．
∴椭圆的方程为： 
．
故选：C．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能得出正确答案．
2、
平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
A
解：如图：α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n， 可知：n∥CD1 ， m∥B1D1 ， ∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．
则m、n所成角的正弦值为： 
．
故选：A．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．
3、
已知动点P在曲线2y2﹣x=0上移动，则点A（﹣2，0）与点P连线中点的轨迹方程是（ ）
A.y=2x2
B.y=8x2
C.x=4y2﹣1
D.y=4x2﹣ 
C
解：设点A（﹣2，0）与点P连线中点坐标为（x，y）， 则由中点坐标公式可得P（2x+2，2y），
∵动点P在曲线2y2﹣x=0上移动，
∴2（2y）2﹣（2x+2）=0
即x=4y2﹣1．
故选：C．
4、
在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则 
在 
方向上的投影为（ ）
A.
B.
C.1
D.2
C
解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°， ∴∠B=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴ 
• 
=2×2cos60°=2
∴ 在 方向上的投影为 
= 
=1，
故选：C
5、
设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn ， 则 
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
B
解：等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn ， ∴a2=a1q=2a1 ， S4= 
=15a1 ，
∴ 
= 
，
故选：B
【考点精析】掌握等比数列的前n项和公式是解答本题的根本，需要知道前
项和公式：
．
6、
在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a= 
，b= 
，B=45°，则角A=（ ）
A.30°
B.30°或105°
C.60°
D.60°或120°
D
解：由a= 
，b= 
，B=45°， 根据正弦定理 
= 
得：sinA= 
= 
= 
，
由a= ＞b= ，得到A∈（45°，180°），
则角A=60°或120°．
故选D
7、
以双曲线 
=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A.y2=16x
B.y2=﹣16x
C.y2=8x
D.y2=﹣8x
A
解析 由双曲线方程 
﹣ 
=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，∴该双曲 线右顶点的坐标是（4，0），∴抛物线的焦点为F（4，0）．设抛物线的标准方程为y2=
2px（p＞0），则由 
=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x．
故选A．
8、
已知双曲线E： 
﹣ 
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是______ ．
2
解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b 
=± 
， 由题意可设A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ），C（c，﹣ ），D（c， ），
由2|AB|=3|BC|，可得
2• 
=3•2c，即为2b2=3ac，
由b2=c2﹣a2 ， e= 
，可得2e2﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
所以答案是：2．
9、
双曲线 
的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1 ， F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=______ ．
解：由于双曲线的一条渐近线y= 
x与直线x+2y+1=0垂直， 则一条渐近线的斜率为2，
即有b=2a，c= 
a，
|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，
解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，
又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF2F1= 
= ，
所以答案是 ．
10、
设实数x，y满足 
，则 
的最大值是______ ．
解：根据实数x，y满足 
，画出约束条件，如下图中阴影部分 
而 
的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率
当过点A（1， ）时斜率最大，最大值为
所以答案是：
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握基本不等式：
,（当且仅当
时取到等号）；变形公式：
．
11、
已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB．
（2）求|AB|．
（1）
证明：设A（x1，y1 ），B（x2，y2），
则 
，整理得：y2﹣2y﹣4=0，
∴y1+y2=2，y1y2=﹣4
∴x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4，
由 
• 
=x1x2+y1y2=4+（﹣4）=0，
∴ ⊥ ，
∴OA⊥OB
（2）
解：由（1）可知：x1+x2=（y1+2）+（y2+2）=y1+y2+4=6，
|AB|= 
• 
= 
• 
=2 
，
∴|AB|=2
（1）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，求得y1y2及x1x2 ， 由 • =x1x2+y1y2=0，即可证明OA⊥OB；（2）利用弦长公式即可求得|AB|．
12、
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 
= 
，bccosA=3． （Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若 
，求a的值．
解：（Ⅰ）∵cos 
= 
， ∴cos A=2cos2 ﹣1= 
，sin A= 
，
又bccosA=3，
∴bc=5，
∴S△ABC= 
bcsinA=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c= 
，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16，
∴a=4．
（Ⅰ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，结合bccosA=3，可求bc=5，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（Ⅱ）由bc=5，又b+c= 
，由余弦定理即可解得a的值．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:
；余弦定理:
;
;
．