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江西省萍乡市高一竞赛试卷数学试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
55 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、填空题（共7题，共35分）
1、 若 2、 将10个数1，2，3，…，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为 3、 若 4、 4个函数 5、 已知 6、 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为 7、 在
二、解答题（共4题，共20分）
8、 已知函数 9、 如图，定直线与定
10、 有 11、 记 |
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江西省萍乡市高一竞赛试卷数学试卷
1、
若
，则
__________．
0
得
2、
将10个数1，2，3，…，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为
，则
的最大值不小于__________．
18
设10个在圆圈上的排列的数依次为
其中
于是
=
故
中必有一个不小于18
故答案为18
3、
若
是单位向量，且
，则
__________．
0
4、
4个函数
，
，
，
图象的交点数共有__________．
5
,因为
即
，所以x=3,所以
与
交于（3,1），
；
与
交于（1,0）,
没有交点；
与
交于（
）
；
故答案为5
5、
已知
，
，
，则
__________．
∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，
∴cosγ=−cosα−cosβ，sinγ=−sinα−sinβ，
∵
=1，
∴
=1，
整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−
，
∴cos(β−α)= −
，
∵0⩽α<β<2π，
∴0<β−α<2π
∴β−α=
或
.①
∴同理可得：cos(γ−β)=− −
,解得：γ−β=
或
②。
cos(γ−α)= −
;解得：γ−α=
或
③。
∵0⩽α<β<γ<2π，
∴β−α=
,γ−β=
,γ−α=
.
故β−α的值为
.
6、
甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为
，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为
，且
。若
，则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_______。
7、
在
中，角
所对边分别为
，若
，则
__________．
又A为锐角，所以A=
8、
已知函数
（
）是偶函数，若
对一切实数
都成立，求实数
的取值范围.
试题分析：函数
（
）是偶函数得出
，证明出当
时，
为增函数，
，根据单调性去掉f,得出
，即得解
试题解析：
（
）是偶函数，当
时，
，得
对一切
都成立，所以，
.
于是
设
，
，
所以，当
时，
为增函数.
，
，
于是，
即
，
所以
即
对一切实数
都成立.
9、
如图，定直线与定
相离，
为
上任意一点，
为
的两条切线，
为两切点，
其垂足为点
，
交于点
，证明：
为定长.
见解析
试题分析：因为
，
，由射影定理，得
，因为
，所以，
四点共圆，由圆幂定理得
结合两个等式即得解.
试题解析：
连
，设
为
，
的交点，
因为
，
，由射影定理，得
因为
，所以，
四点共圆.
由圆幂定理，得
所以，
即
（定值），所以，
为定长.
10、
有
（
）个整数：
，
，…，
，满足
，
，证明
能被4整除.
见解析
试题分析：反证法来解决问题，若
为奇数，由
，得
均为奇数推出矛盾，所以，
中必有偶数，如果
中仅有一个偶数，推出矛盾，所以
中必至少有2个偶数，即得证
试题解析：
首先，
为偶数，事实上，若
为奇数，由
，得
均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与
矛盾，所以，
为偶数
所以，
中必有偶数.
如果
中仅有一个偶数，则
中还有奇数个奇数，从而，
也为奇数，矛盾，所以，
中必至少有2个偶数.
由
知，
能被4整除.
11、
记
表示不超过实数
的最大整数，在数列
中，
，
（
），证明：
.
见解析
试题分析：由
（
）知，数列
为正项递增数列.把
化为
，两边同除
得
，裂项相消求和
即得解.
试题解析：
由
（
）知，数列
为正项递增数列.
又
，所以，
.
化为
，两边同除
得
.
因此，
故