陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

高中数学考试

考试时间：分钟满分： 75 分

题号	一	二	三
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第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共7题，共35分）

1、

已知双曲线方程为x2﹣ =1，过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数共有（）

A.4条

B.3条

C.2条

D.1条

2、

若椭圆 =1的离心率e= ，则m的值为（）

A.1

B. 或

D.3或

3、

已知 + + =0，| |=2，| |=3，| |= ，则向量与的夹角为（）

A.60°

B.45°

C.30°

D.以上都不对

4、

不等式＞0的解集为（）

A.{x|x＜﹣2，或x＞3}

B.{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}

C.{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}

D.{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}

5、

有下列4个命题： ①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆否命题；

②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题；

③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；

④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．

其中真命题的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6、

过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（）

A.y2=﹣ x或x2= y

B.y2= x或x2= y

C.y2= x或x2=﹣ y

D.y2=﹣ x或x2=﹣ y

7、

语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

二、填空题（共3题，共15分）

8、

等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S3+3S2=0，则公比q=______

9、

在△ABC中，B=30°，C=120°，则a：b：c=______ ．

10、

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为______

三、解答题（共5题，共25分）

11、

已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

12、

如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．

13、

在△ABC中，a=3 ，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC ．

14、

已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n ，求an ．

15、

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1 ， F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．

陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

高中数学考试

一、选择题（共7题，共35分）

1、

已知双曲线方程为x2﹣ =1，过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数共有（）

A.4条

B.3条

C.2条

D.1条

【考点】

【答案】

【解析】

解：双曲线x2﹣ =1的渐近线方程为y=±2x， ①直线l：x=1与双曲线只有一个公共点；

②过点P （1，1）平行于渐近线y=±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点；

③设过P的切线方程为y﹣1=k（x﹣1）与双曲线x2﹣ =1联立，

可得（4﹣k2）x2﹣2k（1﹣k）x﹣（1﹣k）2﹣4=0，

由△=0，即4k2（1﹣k）2+4（4﹣k2）[（1﹣k）2﹣4]=0，解得k= ，直线l的条数为1．

综上可得，直线l的条数为4．

故选：A．

2、

若椭圆 =1的离心率e= ，则m的值为（）

A.1

B. 或

D.3或

【考点】

【答案】

【解析】

解：当椭圆 =1的焦点在x轴上时，a= ，b= ，c= ，由e= ，得 = ，即m=3 当椭圆 =1的焦点在y轴上时，a= ，b= ，c=

由e= ，得 = ，

即m= ．

故选D

3、

已知 + + =0，| |=2，| |=3，| |= ，则向量与的夹角为（）

A.60°

B.45°

C.30°

D.以上都不对

【考点】

【答案】

【解析】

解：∵ + + =0，且| |=2，| |=3，| |= ， ∴ ，设向量与的夹角为θ，

则 = ，

即19=4+2×2×3×cosθ+9，

∴cosθ= ，则θ=60°．

故选：A．

4、

不等式＞0的解集为（）

A.{x|x＜﹣2，或x＞3}

B.{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}

C.{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}

D.{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}

【考点】

【答案】

【解析】

解： ⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0 利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，

故选：C．

【考点精析】掌握解一元二次不等式是解答本题的根本，需要知道求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．

5、

有下列4个命题： ①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆否命题；

②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题；

③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；

④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．

其中真命题的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

【考点】

【答案】

【解析】

解：①若x+y=0，则x，y互为相反数，为真命题．则逆否命题也为真命题，故①正确， ②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题为若a2＞b2 ，则a＞b，若a=﹣2，b=0．满足a2＞b2 ，但a＞b不出来了，故②为假命题；

③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题为若x＞﹣3，则x2﹣x﹣6≤0，当x=4时，x2﹣x﹣6≤0不成立，故③为假命题．

④若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题为：若a，b是无理数，则ab是无理数．

该命题是假命题．取a= ，b= ，则 ab= = =2．为有理数．所以该命题是假命题．

故真命题的个数为1个，

故选：B

【考点精析】本题主要考查了四种命题的相关知识点，需要掌握原命题：若P则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p才能正确解答此题．

6、

过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（）

A.y2=﹣ x或x2= y

B.y2= x或x2= y

C.y2= x或x2=﹣ y

D.y2=﹣ x或x2=﹣ y

【考点】

【答案】

【解析】

解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=﹣2p′x（p＞0，p′＞0） ∵抛物线过点（﹣2，3）

∴22=2p×3或32=﹣2p′×（﹣2）

∴2p= 或2p′=

∴x2= y或y2=﹣ x

故选：A．

7、

语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【考点】

【答案】

【解析】

解：若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．

∴语句甲是语句乙的必要不充分条件．

故选：B．

二、填空题（共3题，共15分）

8、

等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S3+3S2=0，则公比q=______

【考点】

【答案】

﹣2

【解析】

解：由题意可得，q≠1 ∵S3+3S2=0

∴

∴q3+3q2﹣4=0

∴（q﹣1）（q+2）2=0

∵q≠1

∴q=﹣2

所以答案是：﹣2

【考点精析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的相关知识点，需要掌握前项和公式：才能正确解答此题．

9、

在△ABC中，B=30°，C=120°，则a：b：c=______ ．

【考点】

【答案】

1：1：

【解析】

解：∵B=30°，C=120°，∴A=30°．由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin30°：sin120°= ：： =1：1：．

所以答案是：1：1：．

【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．

10、

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为______

【考点】

【答案】

【解析】

解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=x+2y为y=﹣ ，

结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）时，z取得最小值，

zmin=1+2×1=3．

所以答案是：3．

三、解答题（共5题，共25分）

11、

已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

【考点】

【答案】

解：若p真，则a＞1；若q真，则△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4；

∵p且q为假，p或q为真，∴命题p，q一真一假；

∴当p真q假时，，∴a≥4；

当p假q真时，，∴0＜a≤1；

综上，a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）

【解析】

通过指数函数的单调性，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值求出命题p，q下a的取值范围，而根据p且q为假，p或q为真知道p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

12、

如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．

【考点】

【答案】

解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），

=（2，2，0）， =（0，1，1）．

设平面BDE的法向量为 =（x，y，z），

则，令z=1，得y=﹣1，x=1．∴平面BDE的一个法向量为 =（1，﹣1，1）．

又∵C（0，2，0），A（2，0，0）， =（﹣2，2，0），且AC⊥平面PDB，

∴平面PDB的一个法向量为 =（1，﹣1，0）．

设二面角E﹣BD﹣P的平面角为α，

则cosα= = = ．

∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．

【解析】

以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值．

13、

在△ABC中，a=3 ，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC ．

【考点】

【答案】

解：在△ABC中，∵a=3 ，c=2，B=150°， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=（3 ）2+22﹣2•3 •2•（﹣ ）=49．

∴解得：b=7，

∴S△ABC= acsinB= ×3 ×2× = ．

【解析】

由已知利用余弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．

14、

已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n ，求an ．

【考点】

【答案】

解：a1=S1=3+2=5， an=Sn﹣Sn﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1 ，

当n=1时，2n﹣1=1≠a1 ，

∴

【解析】

利用公式可求出数列{an}的通项an ．

【考点精析】关于本题考查的数列的定义和表示，需要了解数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an才能得出正确答案．

15、

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1 ， F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．

【考点】

【答案】

解：如图所示，

设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；

则离心率e= = ，

∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；

∴a=4，

∴c= ×4=2 ，

∴b2=a2﹣c2=42﹣ =8；

∴椭圆的方程是

【解析】

画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．

【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．