山东省潍坊市四县市联考高二(下)期中数学试卷(文科)
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
110 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共10题,共50分)
1、 函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)( ) A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 2、 已知函数f(x)=asinx+bx3+1(a,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2016)+f(﹣2016)+f′(2017)﹣f′(﹣2017)=( ) A.2017 B.2016 C.2 D.0 3、 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过潍坊;乙说:我没去过青岛;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为( ) A.济南 B.青岛 C.济南和潍坊 D.济南和青岛 4、 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y= x3﹣ x2﹣40x(x>0),为使耗电量最小,则速度为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 5、 以下式子正确的个数是( ) ①( )′= ②(cosx)′=﹣sinx ③(2x)′=2xln2 ④(lgx)′= . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、 已知函数f(x)=lnx+x,则曲线f(x)在点P(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A. B. C.1 D.2 7、 若复数z=3﹣2i,则z的共轭复数 ( ) A.﹣3+2i B.﹣3﹣2i C.﹣2+3i D.3+2i 8、 已知函数y=f(x),下列说法错误的是( ) A.△y=f(x0+△x)﹣f(x0)叫函数增量 B. 叫函数在[x0 , x0+△x]上的平均变化率 C.f(x)在点x0处的导数记为y′ D.f(x)在点x0处的导数记为f′(x0) 9、 以下说法错误的是( ) A.推理一般分为合情推理和演绎推理 B.归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 C.在数学中,证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理 D.演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理 10、 某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:
根据表可得回归直线方程 =7x+ ,若广告费用为10万元,则预计销售额为( )
二、填空题(共4题,共20分)
11、 对于函数f(x)=xlnx有如下结论: ①该函数为偶函数; ②若f′(x0)=2,则x0=e; ③其单调递增区间是[ ,+∞); ④值域是[ ,+∞); ⑤该函数的图象与直线y=﹣ 有且只有一个公共点.(本题中e是自然对数的底数) 其中正确的是______(请把正确结论的序号填在横线上) 12、 已知m为函数f(x)=x3﹣12x的极大值点,则m=______ . 13、 已知圆的方程式x2+y2=r2 , 经过圆上一点M(x0 , y0)的切线方程为x0x+y0y=r2 , 类别上述方法可以得到椭圆 类似的性质为:经过椭圆上一点M(x0 , y0)的切线方程为______ . 14、 欧拉公式exi=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e3i表示的复数在复平面中位于______象限.
三、解答题(共8题,共40分)
15、 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表.且平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.已知在全部100人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为0.8.
16、 已知不等式|x+2|+|x﹣2|<18的解集为A. (1)求A; (2)若∀a,b∈A,x∈(0,+∞),不等式a+b<x +m恒成立,求实数m的取值范围. 17、 已知f(x)=lnx+ x2 . (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程; (2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围. 18、 在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程 (φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求圆C的普通方程和极坐标方程; (2)射线OM:θ= 与圆C的交于O、P两点,求P的极坐标. 19、 已知函数f(x)= 过点(1,e). (1)求y=f(x)的单调区间; (2)当x>0时,求 的最小值; (3)试判断方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)的根的个数. 20、 综合题。 (1)已知ABCD是复平面内的平行四边形,并且A,B,C三点对应的复数分别是3+i,﹣2i,﹣1﹣i,求D点对应的复数; (2)已知复数Z1=2, =i,并且|z|=2 ,|z﹣z1|=|z﹣z2|,求z. 21、 设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集 (Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值. 22、 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1: (t为参数),C2: (θ为参数). (Ⅰ)化C1 , C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=﹣ ,Q为C2上的动点,求线段PQ的中点M到直线C3:ρcosθ﹣ ρsinθ=8+2 距离的最小值. |
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山东省潍坊市四县市联考高二(下)期中数学试卷(文科)
1、
函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
C
解:因为导函数的图象如图: 可知导函数图象中由4个函数值为0,即f′(a)=0,f′(b)=0,f′(c)=0,f′(d)=0.
x<a,函数是增函数,x∈(a,b)函数是减函数,x∈(b,c),函数在增函数,x∈(c,d)函数在减函数,x>d,函数是增函数,
可知极大值点为:a,c;极小值点为:b,d.
故选:C.
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.
2、
已知函数f(x)=asinx+bx3+1(a,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2016)+f(﹣2016)+f′(2017)﹣f′(﹣2017)=( )
A.2017
B.2016
C.2
D.0
C
解:函数的导数f′(x)=acosx+3bx2 , 则f′(x)为偶函数,则f′(2017)﹣f′(﹣2017)=f′(2017)﹣f′(2017)=0,
由f(x)=asinx+bx3+1得f(2016)=asin2016+b•20163+1,
f(2016)=asin2016+b•20163+1,
f(﹣2016)=﹣asin2016﹣b•20163+1,
则f(2016)+f(﹣2016)=2,
则f(2016)+f(﹣2016)+f′(2017)﹣f′(﹣2017)=2+0=2,
故选:C
【考点精析】认真审题,首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导).
3、
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过潍坊;乙说:我没去过青岛;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为( )
A.济南
B.青岛
C.济南和潍坊
D.济南和青岛
A
解:由乙说:我没去过青岛,则乙可能去过济南或潍坊, 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过潍坊,则乙只能是去过济南,潍坊中的任一个,
再由丙说:我们三人去过同一城市,
则由此可判断乙去过的城市为济南.
故选:A.
4、
某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为y= x3﹣ x2﹣40x(x>0),为使耗电量最小,则速度为( )
A.30
B.40
C.50
D.60
B
解:由题设知y'=x2﹣39x﹣40, 令y'>0,解得x>40,或x<﹣1,
故函数y= x3﹣ x2﹣40x(x>0)在[40,+∞)上增,在(0,40]上减,
当x=40,y取得最小值.
由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40;
故选:B.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值).
5、
以下式子正确的个数是( ) ①( )′= ②(cosx)′=﹣sinx ③(2x)′=2xln2 ④(lgx)′= .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
解:根据题意,依次分析四个式子: 对于①、 =x﹣1 , 则( )′=(x﹣1)′=﹣ ,故①错误;
对于②、(cosx)′=﹣sinx 正确;
对于③、(2x)′=2xln2,正确;
对于④、(lgx)′= ,故④错误;
综合可得:②③正确;
故选:B.
【考点精析】掌握基本求导法则是解答本题的根本,需要知道若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
6、
已知函数f(x)=lnx+x,则曲线f(x)在点P(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.1
D.2
A
解:由题意得y′= +1,则在点M(1,1)处的切线斜率k=2, 故切线方程为:y﹣1=2(x﹣1),即y=2x﹣1,
令x=0得,y=﹣1;令y=0得,x= ,
∴切线与坐标轴围成三角形的面积S= = ,
故选:A.
7、
若复数z=3﹣2i,则z的共轭复数 ( )
A.﹣3+2i
B.﹣3﹣2i
C.﹣2+3i
D.3+2i
D
解:复数z=3﹣2i,则z的共轭复数 =3+2i. 故选:D.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用复数的定义的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握形如的数叫做复数,和分别叫它的实部和虚部.
8、
已知函数y=f(x),下列说法错误的是( )
A.△y=f(x0+△x)﹣f(x0)叫函数增量
B. 叫函数在[x0 , x0+△x]上的平均变化率
C.f(x)在点x0处的导数记为y′
D.f(x)在点x0处的导数记为f′(x0)
C
解:根据导数的定义f′(x0)= , 即可判断出A,B,D正确,C错误,
故选:C
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导即可以解答此题.
9、
以下说法错误的是( )
A.推理一般分为合情推理和演绎推理
B.归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
C.在数学中,证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理
D.演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理
B
解:推理一般分为合情推理和演绎推理,故A正确 所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理,是从特殊到一般的推理过程,故B正确
在数学中,证明命题的正确性能用演绎推理但不能用合情推理,故C错误
演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提小前提和结论,故D正确,
故选C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解合情推理的含义与作用的相关知识,掌握归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理.
10、
某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:
广告费x(万元) | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售额y(万元) | 25 | 30 | 40 | 45 |
根据表可得回归直线方程 =7x+ ,若广告费用为10万元,则预计销售额为( )
A.73万元
B.73.5万元
C.74万元
D.74.5万元
B
解:由题意, =4.5, =35, 代入 =7x+ ,可得 =3.5,
∴ =7x+3.5,
x=10时, =7x+ =73.5,
故选B.
11、
对于函数f(x)=xlnx有如下结论: ①该函数为偶函数;
②若f′(x0)=2,则x0=e;
③其单调递增区间是[ ,+∞);
④值域是[ ,+∞);
⑤该函数的图象与直线y=﹣ 有且只有一个公共点.(本题中e是自然对数的底数)
其中正确的是______(请把正确结论的序号填在横线上)
②③⑤
解:f(x)=xlnx的定义域是(0,+∞),故不是偶函数,故①错误; f′(x)=lnx+1,令f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得:x0=e,故②正确;
令f'(x)>0,即lnx+1>0,
解得:x> ,
∴f(x)的单调递增区间是[ ,+∞),故③正确;
由f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增,
得:f(x)的最小值是f( )=﹣ ,
故f(x)的值域是[﹣ ,+∞),故④错误;
故该函数的图象与直线y=﹣ 有且只有一个公共点,⑤正确;
所以答案是:②③⑤.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
12、
已知m为函数f(x)=x3﹣12x的极大值点,则m=______ .
-2
解:函数f(x)=x3﹣12x,可得f'(x)=3x2﹣12, 令3x2﹣12=0,x=2或﹣2,
x∈(﹣∞,﹣2),f'(x)>0,x∈(﹣2,2)f'(x)<0,x∈(2,+∞),f'(x)>0,
x=﹣2函数取得极大值,所以m=﹣2.
所以答案是:﹣2.
【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本,需要知道求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
13、
已知圆的方程式x2+y2=r2 , 经过圆上一点M(x0 , y0)的切线方程为x0x+y0y=r2 , 类别上述方法可以得到椭圆 类似的性质为:经过椭圆上一点M(x0 , y0)的切线方程为______ .
解:类比过圆上一点的切线方程,可合情推理: 过椭圆 (a>b>0),上一点P(x0 , y0)处的切线方程为
.
所以答案是: .
【考点精析】解答此题的关键在于理解类比推理的相关知识,掌握根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
14、
欧拉公式exi=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e3i表示的复数在复平面中位于______象限.
二
解:由题意可得,e3i=cos3+isin3, ∵ <3<π,
∴cos3<0,sin3>0,则e3i表示的复数对应点的坐标为(cos3,sin3),在复平面中位于二象限.
所以答案是:二.
15、
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表.且平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.已知在全部100人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为0.8.
常喝 | 不常喝 | 合计 | |
肥胖 | 60 | ||
不肥胖 | 10 | ||
合计 | 100 |
(1)求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整;
(2)是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由. 附:参考公式:x2=
P(x2≥x0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
x0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)解:在全部100人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为0.8,则肥胖的学生为80人;
常喝 | 不常喝 | 合计 | |
肥胖 | 60 | 20 | 80 |
不胖 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(2)解:由已知数据可求得:K2= ≈4.76>3.841,
因此有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关
(1)根据在全部100人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为0.8,做出肥胖的学生人数,即可填上所有数字.(2)根据列联表所给的数据,代入求观测值的公式,把观测值同临界值进行比较,得到有95%的把握说看营养说明与性别有关.
16、
已知不等式|x+2|+|x﹣2|<18的解集为A.
(1)求A;
(2)若∀a,b∈A,x∈(0,+∞),不等式a+b<x +m恒成立,求实数m的取值范围.
(1)解:①当x<﹣2时,﹣x﹣2﹣x+2<18,解得﹣9<x<﹣2;
②当﹣2≤x≤2时,x+2﹣x+2<18,恒成立;
③当x>2时,x+2+x﹣2<18,解得2<x<9.
综上,不等式|x+2|+|x﹣2|<18的解集为(﹣9,﹣2)∪[﹣2,2]∪(2,9)=(﹣9,9).
∴A=(﹣9,9)
(2)解:∵a,b∈(﹣9,9),∴a+b∈(﹣18,18).∵a+b<x +m恒成立,
∴18≤x +m恒成立,∵x∈(0,+∞),∴x+ +m≥2 +m=4+m.
∴18≤4+m,解得m≥14.
∴m的取值范围是[14,+∞)
(1)分x<﹣2,﹣2≤x≤2,x>2三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解;(2)分别求出a+b和x +m的范围,令a+b的最大值小于x +m的最小值即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
17、
已知f(x)=lnx+ x2 .
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围.
(1)解:∵f(x)=lnx+ x2,
∴f′(x)= + x,
x=1时,f′(1)= ,f(1)= ,
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y﹣ = (x﹣1),即10x﹣8y﹣9=0
(2)解:x>0,f′(x)= + x≥1,
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1,倾斜角α的取值范围为[ , )
(1)求导数,确定切线的斜率,即可求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)求导数,确定切线的斜率的范围,即可得出结论.
18、
在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程 (φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程和极坐标方程;
(2)射线OM:θ= 与圆C的交于O、P两点,求P的极坐标.
(1)解:圆C的参数方程 (φ为参数),普通方程为(x﹣1)2+y2=1,即x2+y2=2x,极坐标方程为ρ=2cosθ
(2)解:射线OM:θ= 与圆C的交于O、P两点,则ρ= ,∴P的极坐标为( )
(1)利用三种方程的转化方法,即可求圆C的普通方程和极坐标方程;(2)射线OM:θ= 与圆C的交于O、P两点,则ρ= ,即可求P的极坐标.
19、
已知函数f(x)= 过点(1,e).
(1)求y=f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,求 的最小值;
(3)试判断方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)的根的个数.
(1)解:∵函数f(x)= 过点(1,e).得e1+b=e,可得b=0,
∴f(x)= (x≠0),f′(x)= ,令f′(x)>0,得x>1,令f′(x)<0,得0<x<1或x<0,
y=f(x)的单调增区间是[1,+∞),单调减区间是(﹣∞,0).(0,1)
(2)解:设g(x)= = ,(x>0),g′(x)= ,令g′(x)=0,解得x=2,
x∈(0,2)时,g′(x)<0,x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,
∴g(x)在区间(0,2)上递减,在(2,+∞)递增,
∴ 的最小值为g(2)=
(3)解:方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)⇔m= =g(x)
g′(x)= ,易知x<0时,g′(x)>0.
结合(2)可得函数g(x)在区间(0,2)上递减,在(﹣∞,0),(2,+∞)递增.
原问题转化为y=m与y=g(x)交点个数,其图象如下:
当m≤0时,方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)的根的个数为0;
当0<m< 时,方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)的根的个数为1;
当m= 时,方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)的根的个数为2;
当m 时,方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)的根的个数为3;
(1)依题意得e1+b=e,可得b=0,即f(x)= (x≠0),求导数,求单调区间.(2)设g(x)= = ,(x>0),g′(x)= ,利用导数求出单调区间,即可求最值.(3)方程f(x)﹣mx=0(m∈R且m为常数)⇔m= =g(x) 利用导数可得函数g(x)在区间(0,2)上递减,在(﹣∞,0),(2,+∞)递增.画出图象,结合图象求解,
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
20、
综合题。
(1)已知ABCD是复平面内的平行四边形,并且A,B,C三点对应的复数分别是3+i,﹣2i,﹣1﹣i,求D点对应的复数;
(2)已知复数Z1=2, =i,并且|z|=2 ,|z﹣z1|=|z﹣z2|,求z.
(1)解:∵A,B,C三点对应的复数分别是3+i,﹣2i,﹣1﹣i,
∴作出平行四边形ABCD如图:A(3,1),B(0,﹣2),C(﹣1,﹣1),设D(x,y),
则 , ,
由 ,得x=y=2,∴D(2,2),则D点对应的复数为2+2i
(2)解:∵z1=2, =i,∴z2=2i,
设z=x+yi,则由|z|=2 ,|z﹣z1|=|z﹣z2|,得
,解得 或 .
∴z=﹣2﹣2i,或z=2=2i.
(1)由题意画出图形,利用向量相等求出D的坐标得答案;(2)由已知求得z2 , 设出z,结合|z|=2 ,|z﹣z1|=|z﹣z2|列方程组得答案.
21、
设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集
(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.
解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为 |x﹣1|≥2.
由此可得x≥3或x≤﹣1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤﹣1}.
(Ⅱ)由f(x)≤0得
|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即 或
因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x }
由题设可得﹣ =﹣1,故a=2
(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x﹣1|≥2.直接求出不等式f(x)≥3x+2的解集即可.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组,分别求解,然后求出a的值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号).
22、
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1: (t为参数),C2: (θ为参数). (Ⅰ)化C1 , C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=﹣ ,Q为C2上的动点,求线段PQ的中点M到直线C3:ρcosθ﹣ ρsinθ=8+2 距离的最小值.
解:(Ⅰ)∵曲线C1: (t为参数), ∴曲线C1的普通方程为:(x﹣4)2+(y+3)2=1,
∵曲线C2: (θ为参数),
∴曲线C2的普通方程为: ,
曲线C1为圆心是(4,﹣3),半径是1的圆.
曲线C2为中心在坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是6,短半轴长是2的椭圆.
(Ⅱ)当t= 时,P(4,﹣4),
设Q(6cosθ,2sinθ),则M(2+3cosθ,﹣2+sinθ),
∵直线C3:ρcosθ﹣ ,
∴直线C3的直角坐标方程为: ﹣(8+2 )=0,
M到C3的距离d=
=
=
=3﹣ .
从而当cos( )=1时,d取得最小值3﹣
(Ⅰ)由cos2θ+sin2θ=1,能求出曲线C1 , C2的普通方程,并能说明它们分别表示什么曲线.(Ⅱ)当t= 时,P(4,﹣4),设Q(6cosθ,2sinθ),则M(2+3cosθ,﹣2+sinθ),直线C3的直角坐标方程为: ﹣(8+2 )=0,由此能求出线段PQ的中点M到直线C3:ρcosθ﹣ 距离的最小值.