江苏省张家港市沙洲中学高一第二学期期中数学试卷
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
80 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、填空题(共10题,共50分)
1、 若点在直线的下方,则的取值范围是_______. 2、 在中,若,则这个三角形中角的值是____________. 3、 设的解集为,则实数的取值范围是______. 4、 在中,已知,若的最长边的长为,三角形中最小边的长为是___________. 5、 若满足条件的任意的恒成立,则实数的取值范围是_________ 6、 已知,则的最小值等于_________ . 7、 在等差数列中,已知,则=________ 8、 若等差数列与等比数列中,若,,则的大小关系为____________. 9、 若等比数列{n}满足:, ,则的值是______ 10、 已知,则函数的最小值为__________.
二、解答题(共6题,共30分)
11、 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且. (1)求角的大小; (2)若角,边上的中线的长为,求的面积. 12、 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定:大桥上的车距与车速和车长的关系满足为正的常数).假定车身长为,当车速为时,车距为个车身长. (1)写出车距关于车速的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多? 13、 已知数列满足,数列满足 (1)若为等比数列,求的前n项的和; (2)若,求数列的通项公式; (3)若,求证: 14、 已知等差数列的前三项为记前项和为. (Ⅰ)设,求和的值; (Ⅱ)设,求的值. 15、 已知数列满足: (I)求的值; (Ⅱ)求证:数列是等比数列; (Ⅲ)令(),如果对任意,都有,求实数的取值范围. 16、 已知不等式的解集为, (1)求; (2)解不等式. |
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江苏省张家港市沙洲中学高一第二学期期中数学试卷
1、
若点在直线的下方,则的取值范围是_______.
m>6
因为点 在直线的下方,所以点满足不等式 ,即,得 ,故答案为.
2、
在中,若,则这个三角形中角的值是____________.
在中,若,则由正弦定理可得,由于,解得或 ,故答案为 .
3、
设的解集为,则实数的取值范围是______.
的解集为 ,① 时,不成立,故满足题意;② 时,需要并且 ,解得 ;所以满足题意的的取值范围为 ,故答案为.
4、
在中,已知,若的最长边的长为,三角形中最小边的长为是___________.
因为在 中, , ,即为最大角,与都为锐角, ,即为最小角,为最小角边, ,由正弦定理 ,得 ,解得 ,则 最小边长为,故答案为.
5、
若满足条件的任意的恒成立,则实数的取值范围是_________
因为正实数满足 ,当且仅当 时取等号,令 ,则 ,解得 ,即 的取值范围是 . 由 恒成立, ,令 ,则 ,因此函数 在 上单调递增, , ,所以实数 的取值范围是 ,故答案为.
6、
已知,则的最小值等于_________ .
,当且仅当 时取等号 ,故最小值为 ,故答案为.
7、
在等差数列中,已知,则=________
-12
由等差数列 的性质可得: ,又 ,故答案为 .
8、
若等差数列与等比数列中,若,,则的大小关系为____________.
若等差数列与等比数列 中,若 由等差数列中项的性质可得 ,当且仅当 取得等号,故答案为 .
9、
若等比数列{n}满足:, ,则的值是______
4
设数列 的公比为 ,则 ,①, ,② ① ②得 ,, 故答案为 .
10、
已知,则函数的最小值为__________.
,则函数 ,当且仅当 时,函数取得最小值,最小值为 ,故答案为.
【易错点晴】利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).
11、
设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.
(1)求角的大小;
(2)若角,边上的中线的长为,求的面积.
(1).(2)
试题分析:(1)本题考查解三角形的知识,问题是求角,因此我们一般把已知条件中边转化为角,如果等式两边边的关系是齐次的,那么我们可以应用正弦定理转化为角,本题中已知条件
,就可转化为,下面只要利用三角公式进行变形就能求出;(2)的角已经求出,但要求面积还必须至少知道两边,我们要由中线来求边,观察三角形,会发现在中,,由此用余弦定理可求得的长,下面就可求面积了.
试题解析:解:(1)∵,
∴.
即则,则.
(2)由(1)知,所以,,
设,在中由余弦定理得,
解得,故.
12、
有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定:大桥上的车距与车速和车长的关系满足为正的常数).假定车身长为,当车速为时,车距为个车身长.
(1)写出车距关于车速的函数关系式;
(2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?
(1)d=0.0024v2+2;(2)当车速为50 km/h时,大桥上每小时通过的车辆最多.
试题分析:(1)根据当车速 ,车距为 个车身长,建立等式关系,求出 的值,即可求出车距 关于车速 的函数关系式;(2)设每小时通过的车辆为 ,每小时内通过汽车的数量为最大,只须 最小,将 代入,然后利用基本求出最值,即可求出所求.
试题解析:(1) 由题意,当v=60时,d=2.66l,
所以k===0.0006,
所以d=0.0024v2+2.
(2)设每小时通过的车辆数为Q,则Q=.
即Q==.
因为0.0024v+≥2=0.24,
所以Q≤=,当且仅当0.0024v=,即v=50时,Q取最大值.
故当车速为50 km/h时,大桥上每小时通过的车辆最多.
13、
已知数列满足,数列满足
(1)若为等比数列,求的前n项的和;
(2)若,求数列的通项公式;
(3)若,求证:
(1)当时,当时,(2)(3)详见解析
试题分析:(1)先确定通项公式,从而得通项公式,再根据通项公式特点,进行分类讨论:当时,则;当时,为公比不为1的等比数列,其和为(2)由得,因此,即隔项成等比数列(3)由得,从而利用裂项相消法得=再由基本不等式即可得证,本题也可利用数学归纳法证明
试题解析:(1) (2分)
当时,则 (3分)
当时, (5分)
(2)
(7分)
当时,
当时,
(11分)
(3)①,②
①-②得
=
=
>-3. .(16分)
14、
已知等差数列的前三项为记前项和为.
(Ⅰ)设,求和的值;
(Ⅱ)设,求的值.
(I);(II).
试题分析:(1)由等差数列的前三项为可列出关系式,从而求出的值,求出数列的首项与公差,由数列的前项和公式可求的值;(2)由(1)可知,所以,即是等差数列,由等差数列求和公式求之即可.
试题解析:(1)由已知得,又,
∴,即.∴,公差.
由,得,
即.解得或(舍去).∴.
(2)由,得.
∴,∴是等差数列.
则;
.∴.
15、
已知数列满足:
(I)求的值;
(Ⅱ)求证:数列是等比数列;
(Ⅲ)令(),如果对任意,都有,求实数的取值范围.
(1);(2)见解析;(3).
试题分析:(1)利用条件 可求;(2)再写一式 与已知条件相减可得,即 ,从而有 ,所以可证数列 是等比数列;(3)由(2) 可得 ,进而可得数列 的通项,考查其单调性,从而求得最大值,故可求实数的取值范围.
试题解析:(I)
(II)由题可知: ①
②
②-①可得
即:,又
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列
(Ⅲ)由(2)可得,
由可得
由可得
所以
故有最大值
所以,对任意,有
如果对任意,都有,即成立,
则,故有:,
解得或
所以,实数的取值范围是
16、
已知不等式的解集为,
(1)求;
(2)解不等式.
(1)a=1,b=2;(2)见解析.
试题分析:(1)一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根,再利用一元二次方程的根与系数的关系解出 ;(2)先把一元二次方程变形到 ,分当 时,当 时,当 时,三种情况求出此不等式的解集.
试题解析:(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1.
由根与系数的关系,得解得
所以a=1,b=2.
(2)所以不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,
即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};
当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};
当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.
综上,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c};
当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};
当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.