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上海市上海中学高一下学期期中考试数学试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
80 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共1题，共5分）
1、 已知 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、填空题（共10题，共50分）
2、 若 3、 在△ 4、 已知 5、 函数 6、 已知 7、 将函数 8、 若函数 9、 若函数 10、 函数 11、 若
三、解答题（共5题，共25分）
12、 已知函数 （1）求函数 （2）求实数 13、 求证： 14、 写出函数 15、 已知 16、 已知集合 （1）求证： （2） （3） |
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上海市上海中学高一下学期期中考试数学试卷
1、
已知
，则点
在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
B
∵
，∴
，
，
，∴
，∴点
在第二象限，故选B.
2、
若
，则
________
若
，则
，故答案为.
3、
在△
中，若
，则△为________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
直角
中，∵
，即
，
∴
，∴
，故为直角三角形，故答案为直角.
4、
已知
，则
________（用反正弦表示）
由于
表示
上正弦值等于
的一个锐角，由
，则
，故答案为
.
5、
函数
，
的值域为_______
令
，则
，∵
，∴
，
∴当
时，
取得最小值
，当
或
时，取得最大值
，故答案为
.
6、
已知
是正整数，且
，则满足方程
的有________个
11
由三角函数的单调性及值域，可知
，∴除
外只有当等式
的左右两边均为
时等式成立，则、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
时等式成立，满足条件的正整数
有11个，故答案为11.
7、
将函数
的图像向左平移
个单位后，所得图像关于原点对称，则实数的最小值为________
把函数
象向左平移
个单位，可得
的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得
，
，即
，则
的最小值为，故答案为.
8、
若函数
的图像关于
对称，则
________
，其中，
，
，∵函数图象关于
对称，∴
，即
，
．∵
，∴
，∴
，∴
，解得
，故答案为
.
9、
若函数
和
定义域均是
，则它们的图像上存在________个点关于
轴对称
2
在同一坐标系中画出函数
和
的图象，其中
，如图所示；
则
的图象上存在2个点关于
轴对称，分别是
和
与
；
的图象上存在2个点关于轴对称，分别是
和
与
，故答案为2.
10、
函数
的最小正周期为________
函数
的最小正周期为
，故答案为.
11、
若
，
，则
________
∵
，
，∴
，
，∴联立，解得：
，
，
∴
，故答案为.
12、
已知函数
的最小正周期为
，其图像的一个对称中心为
，将函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像.
（1）求函数与的解析式；
（2）求实数
与正整数
，使得
在
内恰有2017个零点.
（1）
，
； （2）
，
.
试题分析：（1）依题意，可求得
，
，利用三角函数的图象变换可求得；（2）依题意，
，先求出在 
内零点的个数，在由周期性得结果.
试题解析:（1）
，
，所以
（2）
，当时，
在内内恰有3个零点.所以
13、
求证：
－2cos(α＋β)＝
.
见解析
sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
由待证式知sinα≠0，故两边同除以sinα得
－2cos(α＋β)＝
.
在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．
14、
写出函数
的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.
见解析
试题分析：先化简函数的的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论.
试题解析：
，
值域：
；递增区间：
，
；对称轴：
，；对称中心：
，；作图：
15、
已知
，
. （1）求
的值；（2）求
的值.
（1）
； （2）
.
试题分析：（1）由
，
．利用二倍角公式即可出
的值；（2）根据的值求出
和
，利用二倍角和和与差的公式化简可求出
的值.
试题解析：（1）
，
（2）
16、
已知集合
，
.
（1）求证：
；
（2）
是周期函数，据此猜想
中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；
（3）是奇函数，据此猜想中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.
（1）见解析 （2）是； （3）不是，反例：
.
试题分析：（1）利用三角恒等变换化简
，判断与
的关系即可；（2）由
可得
，两式相减即可得出f
，从而有
，得出
周期为6；（3）以为例即可得出结论.
试题解析：已知集合
，
.
（1）
；
（2）
（3）不是奇函数.