北京市城六区高三一模理科数学分类汇编之压轴小题
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
30 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共2题,共10分)
1、 某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为“学习能手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”,则“难题”的个数最多为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2、 设函数,若函数恰有三个零点,,,则的取值范围是 A. B. C. D.
二、填空题(共4题,共20分)
3、 单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为,则f(3)=_____; 下面是关于的描述: ③ ④ 其中正确结论的序号为__________.(注:请写出所有正确结论的序号) 4、 设函数. ①若有两个零点,则实数的取值范围是 ___________; ②若,则满足 的的取值范围是 _________________. 5、 已知,函数当时,函数的最大值是_____;若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是______. 6、 如图,在长方体中,,,点在侧面上.若点到直线和的距离相等,则的最小值是____. |
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北京市城六区高三一模理科数学分类汇编之压轴小题
1、
某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为“学习能手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”,则“难题”的个数最多为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
D
由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题,5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”,所以难题最多1道.故选D.
2、
设函数,若函数恰有三个零点,,,则的取值范围是
A. B. C. D.
A
函数 ,
可得,
令,
函数y=f(t)+a(a∈R)恰有三个零点,转化为f(t)与函数y=﹣a有三个交点问题.
根据三角函数图象的性质可得:(t1+t2)=,≤t3<.
∴(t1+t2)=π,即x1+x2=
那么,
可得:
则x1+x2+x3的取值范围是.故选A.
3、
单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为,则f(3)=_____; 下面是关于的描述:
③ ④
其中正确结论的序号为__________.(注:请写出所有正确结论的序号)
①③④
半径为1的圆的内接正n边形的边长为2sin,
边心距为cos,
则正n边形的面积为f(n)=n••2sin•cos=sin,
可得f(3)=sin=;
考虑函数f(x)=sin,x>2,且x∈N,
可得导数f′(x)=sin﹣cos,
当x=3,4时,f′(x)>0成立;
当x>4,且x∈N,0<<,
有0<sin<1,0<cos<1,
且sin<<tan,
可得sin>cos,
可得f′(x)>0,
则f(x)在x>2,且x∈N,为增函数,
则f(n)<f(n+1);
由于f(n)为增函数,且sin<,0<<,
可得f(n)<•=π,
即f(n)取不到π;
又f(n)﹣f(2n)=sin﹣nsin=nsincos﹣nsin
=nsin(cos﹣1)<0,即f(n)<f(2n);
由f(2n)﹣2f(n)=nsin﹣2•sin=nsin(1﹣2cos),
由于n≥3,可得≤cos<1,
可得f(2n)﹣2f(n)≤0,
即f(2n)≤2f(n).
综上可得,正确结论序号为①③④.
故填;①③④.
4、
设函数.
①若有两个零点,则实数的取值范围是 ___________;
②若,则满足 的的取值范围是 _________________.
①若a=0,则,
由f(x)=0,可得x=0,x=﹣,符合题意;
若a<0,x=0符合题意;
若x=﹣符合题意,则a>﹣,即为﹣<a<0;
若a>0,则x=0和x=﹣符合题意,可得a≤,
综上可得,a的范围是(﹣,];
②若x<a≤﹣2,则x﹣1<a﹣1≤﹣3,
f(x)的导数为3x2﹣3>0,
可得f(x)<f(﹣2)=﹣2,f(x﹣1)<﹣27+9=﹣18,
即有f(x)+f(x﹣1)<﹣30,不符题意;
则x≥a,若x﹣1≥a,f(x)+f(x﹣1)>﹣3,
即为x+x﹣1>﹣3,解得x>﹣1;
若a﹣1≤x﹣1<a,f(x)+f(x﹣1)>﹣3,
即为x+(x﹣1)3﹣3(x﹣1)>﹣3,
化为x3﹣3x2+x+5>0,
由于a≤﹣2,且a≤x<a+1,
可得g(x)=x3﹣3x2+x+5的导数g′(x)=3x2﹣6x+1>0,
即g(x)在[a,a+1)递增,g(a)取得最小值,且为a3﹣3a2+a+5,
且a3﹣3a2+a+5,
而在a≤﹣2时,a3﹣3a2+a+5递增,且为负值,不符题意.
综上可得a的范围是(﹣1,+∞).
故填,(﹣1,+∞).
5、
已知,函数当时,函数的最大值是_____;若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是______.
(1)当x>0时,,
令,当 ,即x=1时取等号,
即当x=1时,f1(x)min=2,
令,
又因为
则
(2)f(x)图象仅有两对点关于y轴对称,
即f(x)(x<0)的图象关于y轴对称的函数图象与f(x)(x>0)仅有两个交点,
当x<0时,f(x)=(x+1)2+a.
设其关于y轴对称的函数为g(x),
∴g(x)=f(﹣x)=(x﹣1)2+a(x>0)
∵(x>0)
由(1)可知近似图象如图所示:
当g(x)与f(x)仅有两个交点时,,
综上,a的取值范围是(﹣1,),
故填,(﹣1,).
6、
如图,在长方体中,,,点在侧面上.若点到直线和的距离相等,则的最小值是____.
如图在面A1ABB1建立P面直角坐标系,设P(x,y).(0≤x≤2,0≤y≤2)
∵点P到直线AA1和CD的距离相等,,即x2=y2+1.
∴A1P=
∴当P(,1)时,A1P最小为.故填.