北京市海淀区高三第二学期期末第二次模拟考试数学(理)试卷
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
65 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共4题,共20分)
1、 已知集合,集合,,满足. ①每个集合都恰有5个元素 ② 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为,则的值不可能为( ) A. B. C. D. 2、 已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是( ) A. 求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和 B. 求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和 C. 求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和 D. 求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和 3、 关于函数,下列说法错误的是( ) A. 是奇函数 B. 0不是的极值点 C. 在上有且仅有3个零点 D. 的值域是 4、 已知复数在复平面上对应的点为,则( ) A. 是实数 B. 是纯虚数 C. 是实数 D. 是纯虚数
二、填空题(共4题,共20分)
5、 如图,棱长为2的正方体中,是棱的中点,点在侧面内,若垂直于,则的面积的最小值为__________. 6、 能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为__________. 7、 在的二项展开式中,的系数为__________. 8、 极坐标系中,点到直线的距离为___________.
三、解答题(共5题,共25分)
9、 如果数列满足“对任意正整数,都存在正整数,使得”,则称数列具有“性质”.已知数列是无穷项的等差数列,公差为 (Ⅰ)若,公差,判断数列是否具有“性质”,并说明理由; (Ⅱ)若数列具有“性质”,求证:且; (Ⅲ)若数列具有“性质”,且存在正整数,使得,这样的数列共有多少个?并说明理由. 10、 已知函数 (Ⅰ)求的极值; (Ⅱ)当时,设,求证:曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 11、 已知椭圆,为右焦点,圆,为椭圆上一点,且位于第一象限,过点作与圆相切于点,使得点,在的两侧. (Ⅰ)求椭圆的焦距及离心率; (Ⅱ)求四边形面积的最大值. 12、 如图,在三棱柱中,平面,,分别是的中点. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)证明:平面; (Ⅲ)求与平面所成角的正弦值. 13、 如图,已知函数 ()在一个周期内的图象经过,,三点. (Ⅰ)写的值; (Ⅱ)若,且,求的值. |
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北京市海淀区高三第二学期期末第二次模拟考试数学(理)试卷
1、
已知集合,集合,,满足.
①每个集合都恰有5个元素
②
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为,则的值不可能为( )
A. B. C. D.
A
分析:求出集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},由题意列举出集合A1,A2,A3,排除选项B、C、D,由此能求出结果.
详解:由题意集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},
当A1={1,4,5,6,7},A2={3,12,13,14,15},A3={2,8,9,10,11}时,
X1+X2+X3=8+18+13=39,故排除B选项;
当A1={1,4,5,6,15},A2={2,7,8,9,14},A3={3,10,11,12,13}时,
X1+X2+X3=16+16+16=48,故排除C选项;
当A1={1,2,3,4,15},A2={5,6,7,8,14},A3={9,10,11,12,13}时,
X1+X2+X3=16+19+22=57,故排除D选项.
∴X1+X2+X3的值不可能为37.
故选A.
2、
已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是( )
A. 求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和
B. 求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和
C. 求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和
D. 求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和
C
分析:
详解:运行程序如下:s=0,n=1,s=,n=3,3<2018;s=,n=3,s=,n=5,5<2018;;
s=,n=1007,s=,n=1009,2019<2018;,故该算法的功能是求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和,故选C.
3、
关于函数,下列说法错误的是( )
A. 是奇函数
B. 0不是的极值点
C. 在上有且仅有3个零点
D. 的值域是
C
分析:利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.
详解:对于选项A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,所以选项A是正确的.
对于选项B,,可以得到函数f(x)在是增函数,在也是增函数,所以0不是函数的极值点,所以选项B正确.
对于选项C,由于函数在是增函数,在是增函数,且f(0)=0,所以函数在 上有且仅有1个零点,所以选项C错误.
对于选项D,当x时,当x时,所以函数的值域为R,所以选项D正确.
故选C.
4、
已知复数在复平面上对应的点为,则( )
A. 是实数 B. 是纯虚数 C. 是实数 D. 是纯虚数
C
分析:先求出复数z,再代入选项进行判断,即得正确答案。
详解:由题得复数z=1-i ,
所以z+1=2-i ,不是实数,所以选项A错误,也不是纯虚数,所以选项B错误.
所以z+i=1,是实数,所以选项C正确,z+i是纯虚数错误,所以选项D错误.
故选C.
5、
如图,棱长为2的正方体中,是棱的中点,点在侧面内,若垂直于,则的面积的最小值为__________.
分析:先建立空间直角坐标系,再求|BP|的最小值,最后求的面积的最小值.
详解:以D点为空间直角坐标系的原点,以DC所在直线为y轴,以DA所在直线为x轴,以D为z轴,建立空间直角坐标系.则点P(2,y,z),,
所以.
因为C(0,2,0),M(2,0,1),
所以,
因为.
因为B(2,2,0),
所以,
所以
因为0≤y≤2,
所以当y=时,.
因为BC⊥BP,
所以.
故填.
6、
能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为__________.
答案不唯一,a>2或a<﹣2的任意实数
分析:由题意可设P(m,n),(m>0,n>0),由对称性可得Q(﹣m,n),R(﹣m,﹣n),S(m,﹣n),可得m=n,代入曲线方程,由双曲线的范围,解不等式即可得到所求值.
详解:曲线上存在四个点P,Q,R,S满足四边形PQRS是正方形,
可设P(m,n),(m>0,n>0),由对称性可得Q(﹣m,n),
R(﹣m,﹣n),S(m,﹣n),
则|PQ|=|QR|,
即2m=2n,即m=n,
由曲线的方程可得,
即有解,
即有m2=>4,
可得>0,
解得a>2或a<﹣2,
故答案为:a>2或a<﹣2的任意实数.
7、
在的二项展开式中,的系数为__________.
分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r+1项,令x的指数为3得解.
详解:因为其通项为:Tr+1=x5﹣r=2r••x5﹣2r.
令5﹣2r=3得r=1,
所以x3的系数为21×=10.
故答案为10.
8、
极坐标系中,点到直线的距离为___________.
分析:先把点的坐标化成直角坐标,把直线的方程化为直角坐标,再求点到直线的距离得解.
详解:由题得点化成直角坐标为(0,2),
直线的直角坐标方程为x=1,
所以点到直线的距离为2-1=1,
故填1.
9、
如果数列满足“对任意正整数,都存在正整数,使得”,则称数列具有“性质”.已知数列是无穷项的等差数列,公差为
(Ⅰ)若,公差,判断数列是否具有“性质”,并说明理由;
(Ⅱ)若数列具有“性质”,求证:且;
(Ⅲ)若数列具有“性质”,且存在正整数,使得,这样的数列共有多少个?并说明理由.
(Ⅰ)不具有性质;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).
分析:(Ⅰ)利用举反例的方法证明数列不具有“性质”. (Ⅱ)利用反证法证明 且. (Ⅲ)先通过分析得到,.再分类讨论得到每一种情况下数列的个数,最后得到总数.
详解:(Ⅰ)若,公差,则数列不具有性质.
理由如下:
由题知,对于和,假设存在正整数k,使得,则有,解得,矛盾!所以对任意的,.
(Ⅱ)若数列具有“性质P”,则
①假设,,则对任意的,.
设,则,矛盾!
②假设,,则存在正整数,使得
设,,,…,, ,则,但数列中仅有项小于等于0,矛盾.
③假设,,则存在正整数,使得
设,,,…,, ,则,但数列中仅有项大于等于0,矛盾,
综上,,.
(Ⅲ)设公差为的等差数列具有“性质P”,且存在正整数,使得.
若,则为常数数列,此时恒成立,故对任意的正整数,
,
这与数列具有“性质P”矛盾,故.
设是数列中的任意一项,则,均是数列中的项,设
,
则,
因为,所以,即数列的每一项均是整数.
由(Ⅱ)知,,,故数列的每一项均是自然数,且是正整数.
由题意知,是数列中的项,故是数列中的项,设,则
,
即.
因为,,故是的约数.
所以,,.
当时,,得,故
,共2019种可能;
当时,,得,故
,共1010种可能;
当时,,得,故
,共3种可能;
当时,,得,故
,共2种可能;
当时,,得,故
,共2种可能;
当时,,得,故
,共1种可能;
当时,,得,故
,共1种可能;
当时,,得,故
,共1种可能.
综上,满足题意的数列共有(种).
经检验,这些数列均符合题意.
10、
已知函数
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)当时,设,求证:曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
(Ⅰ)极小值;(Ⅱ)证明见解析.
详解:(Ⅰ) ,
令,得.
①当时,与符号相同,
当变化时,,的变化情况如下表:
↘ | 极小 | ↗ |
②当时,与符号相反,
当变化时,,的变化情况如下表:
↘ | 极小 | ↗ |
综上,在处取得极小值.
(Ⅱ) ,
故 .
注意到,,,
所以,,,使得.
因此,曲线在点,处的切线斜率均为.
下面,只需证明曲线在点,处的切线不重合.
曲线在点()处的切线方程为,即.假设曲线在点()处的切线重合,则.
令,则,且.
由(Ⅰ)知,当时,,故.
所以,在区间上单调递减,于是有矛盾.
因此,曲线在点()处的切线不重合.
11、
已知椭圆,为右焦点,圆,为椭圆上一点,且位于第一象限,过点作与圆相切于点,使得点,在的两侧.
(Ⅰ)求椭圆的焦距及离心率;
(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
(Ⅰ),;(Ⅱ).
分析:(Ⅰ)利用椭圆的几何性质求椭圆的焦距及离心率. (Ⅱ)设(,),先求出四边形面积的表达式,再利用基本不等式求它的最大值.
(Ⅰ)在椭圆:中,,,
所以,
故椭圆的焦距为,离心率.
(Ⅱ)设(,),
则,故.
所以,
所以,
.
又,,故.
因此
.
由,得,即,
所以,
当且仅当,即,时等号成立.
12、
如图,在三棱柱中,平面,,分别是的中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:平面;
(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).
分析:(Ⅰ)先证明平面,再证明.( Ⅱ) 取的中点,连接、.
先证明DE∥AM,再证明平面.( Ⅲ)利用向量法直线与平面所成角的正弦值.
详解:(Ⅰ)因为⊥平面,平面,
所以.
因为,,,平面,
所以平面.
因为平面,
所以.
(Ⅱ)取的中点,连接、.
因为、分别是、的中点,
所以ME∥,且ME.
在三棱柱中,,且,
所以ME∥AD,且ME=AD,
所以四边形ADEM是平行四边形,
所以DE∥AM.
又平面,平面,
所以平面.
(Ⅲ)在三棱柱中,,
因为,所以.
在平面内,过点作,
因为,平面,
所以,平面.
建立空间直角坐标系C-xyz,如图.则
,,,,,.
,,.
设平面的法向量为,则
,即,
得,令,得,故.
设直线DE与平面所成的角为θ,
则sinθ= ,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
13、
如图,已知函数 ()在一个周期内的图象经过,,三点.
(Ⅰ)写的值;
(Ⅱ)若,且,求的值.
(Ⅰ),,;(Ⅱ).
分析:(Ⅰ)根据题意列出关于的三个方程,解方程即得的值.( Ⅱ)先根据,且求出的值,再求的值.
详解:(Ⅰ)由题得函数的最大值为2,因为A>0,所以A=2.
由题得
所以.
因为函数的图像过点,所以
所以,,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.
因为,所以.
因为,所以.
所以,
所以,
所以.